对数凹函数和对数凸函数 | Bowen's Academic Home

定义

如果对所有的 $x \in dom f$ 有 $f (x) > 0$ 且 $\log f$ 是凹函数，则称函数 $f$ 是对数凹函数。如果 $\log f$ 是凸函数，则称函数 $f$ 是对数凸函数。

因此，函数 $f$ 是对数凸的，等价于函数 $1 / f$ 是对数凹的。

对数凹凸性可以不借助对数直接表达。考虑函数 $f : R^{n} \to R$ ，其定义域是凸集，且对于 $\forall x \in dom f$ 有 $f (x) > 0$ ，则函数是对数凹的，当且仅当对 $\forall x, y \in dom f$ ， $0 ⩽ θ ⩽ 1$ ，有

f (θ x + (1 - θ) y) ⩾ f (x)^{θ} f (y)^{1 - θ}

特别地，若令 $θ = \frac{1}{2}$ ，则可以得到如下结论：对数凹函数在两点中间的函数值不小于这两点函数的几何平均值，即

f (\frac{x + y}{2}) ⩾ \sqrt{f (x) f (y)}

根据函数复合规则，我们知道如果函数 $h$ 是凸函数，则函数 $e^{h}$ 是凸函数，因此对数凸函数是凸函数。类似地，非负凹函数是对数凹函数。此外，由于对数函数是单调增函数，所以对数凸函数是拟凸函数，对数凹函数是拟凹函数。

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- u^{2} / 2} d u

Γ (x) = \int_{0}^{\infty} u^{x - 1} e^{- u} d u

假设函数 $f$ 是二次可微的，并且 $dom f$ 是凸的，那么

\nabla^{2} \log f (x) = \frac{1}{f (x)} \nabla^{2} f (x) - \frac{1}{f (x)^{2}} \nabla f (x) \nabla f (x)^{⊤}

因此，判断函数 $f$ 的对数凹凸性，只需要分别令二阶导数大于零（凸）和小于零（凹），即

\begin{array}{r} f (x) \nabla^{2} f (x) ⪰ \nabla f (x) \nabla f (x)^{⊤} \\ f (x) \nabla^{2} f (x) ⪯ \nabla f (x) \nabla f (x)^{⊤} \end{array}

乘积运算能够保持函数的对数凸性，这是因为对数运算和加法运算是能够保持函数的凸性。

\begin{aligned} h (x) & = f (x) g (x) \\ \log h (x) & = \log f (x) + \log g (x) \end{aligned}

然而，求和运算并不能够绝对保证函数的对数凸性。对数凹函数的和一般不是对数凹函数，而对数凸函数的和仍然是对数凸函数。

因此，对数凸函数的积分也是对数凸函数。例如，非负函数 $p (x)$ 的 Laplace 变换：

P (z) = \int p (x) e^{- z^{⊤} x} d x

对数凹函数的积分仍然是对数凹函数需要满足如下条件：如果函数 $f : R^{n} \times R^{m} \to R$ 是对数凹函数，那么

g (x) = \int f (x, y) d y

是对数凹函数（此时是在 $R^{m}$ 上求积分）。

这个结论具有重要意义。它可以用来证明对数凹性对卷积运算也是封闭的，即如果函数 $f$ 和 $g$ 在 $R^{m}$ 上是对数凹函数，则它们的卷积

(f * g) (x) = \int f (x - y) g (y) d y

仍然是对数凹函数。这是因为：1. 乘积是保对数凹凸性的；2. 对数凹函数的积分仍然是对数凹函数。

设 $C \subseteq R^{n}$ 是凸集， $w$ 是 $R^{n}$ 上的随机向量，设其具有对数凹性的概率密度函数 $p$ ，则函数

\begin{aligned} f (x) & = prob (x + w \in C) \\ = \int g (x + w) f (w) d w \end{aligned}

是 $x$ 的对数凹函数，其中 $g$ 定义为

g (u) = {\begin{cases} 1 & u \in C \\ 0 & u \notin C \end{cases}