正常锥与广义不等式
若锥 $K \subseteq \mathbf{R}^{n}$ 是凸的、闭的、实的（具有非空内部）、尖的（$x \in K \wedge -x \in K \Rightarrow x=0$），则称之为正常锥。
正常锥 $K$ 可以用来定义广义不等式，即 $\mathbf{R}^{n}$ 上的偏序关系
$$ \begin{array}{c} x \preceq_{K} y \Longleftrightarrow y-x \in K \end{array} $$严格偏序关系定义为
$$ \begin{array}{c} x \prec_{K} y \Longleftrightarrow y-x \in \operatorname{int} K \end{array} $$偏序关系与广义不等式
在《离散数学》的课堂中，我们学过二元关系中有一种关系是偏序关系，它满足：
- 自反性：$\forall x$，$xRx$
- 反对称性：$\forall x, y$，$xRy \wedge yRx \Longrightarrow x = y$
- 传递性：$\forall x, y, z$，$xRy \wedge yRz \Longrightarrow xRz$
实际上，实数集 $\mathbf{R}$ 上的小于等于 $\leqslant$ 就是一种偏序关系。广义不等式是此概念的推广，不过需要集合是正常锥，因此在 $n$ 维空间的非负象限 $\mathbf{R}^n_{+}$ 上可以比较向量的大小。（今后使用 $\preceq$ 时，如果不加下标，默认是在 $\mathbf{R}^n_{+}$ 上的广义不等式。）
那么，$\mathbf{R}^n_{+}$ 上的 $n$ 维向量如何比较大小呢？实际上，相应的广义不等式对于向量间的分量不等式，即
$$ x \preceq y \Longleftrightarrow x_i \leqslant y_i, i = 1, \cdots n $$
相应地，其严格不等式对应于严格的分量不等式，即
$$ x \prec y \Longleftrightarrow x_i < y_i, i = 1, \cdots n $$
广义不等式的性质
- 具有偏序关系的性质：自反性、反对称性、传递性
- 运算保序性：加法、非负数乘、极限
最（极）大（小）元
正常锥的最（极）大（小）元与《离散数学》课程中的二元关系的相关概念没有本质区别。
设 $x \in S$，对 $\forall y \in S$，均有 $x \preceq_{K} y$，则称 $x$ 是 $S$ 的最小元。最小元是唯一的。$x$ 是 $S$ 的最小元，当且仅当
$$ \begin{align*} S \subseteq x + K \end{align*} $$这里 $x + K$ 表示可以与 $x$ 相比并且大于或等于（根据 $\preceq_K$） $x$ 的所有元素。
设 $y \in S$，若 $y \subseteq_K x \Rightarrow y = x$，则称 $x$ 是 $S$ 上的极小元。极小元是不唯一的。$x$ 是 $S$ 上的极小元，当且仅当
$$ \begin{align*} (x - K) \cap S = \{x\} \end{align*} $$