十二平均律
将纯八度 12 等分,每份称为一个半音,每两份称为一个全音。
由于音高的本质是波的频率,所以相当于是将连续的频率 12 等分为离散的半音。并且,每相邻的两个音频率之比相等(注意是比而不是差),所以其频率形成了一个等比数列。假设中央 C 的频率是 $f$,那么升高八度后的频率就是 C 的 2 倍 $2f$。设这个等比数列的公比为 $q$,那么可以列出下列方程:
$$ \begin{align} f q^{12} &= 2f \\ q &= \sqrt[12]{2} \approx 1.059463 \end{align} $$计算结果表明,每半音之间的频率之比是一个定值 $\sqrt[12]{2}$。
在钢琴上,半音之间的琴键必然是最近且相邻的,全音则隔着一个半音,但可能相邻也可能不相邻。
例如,从中央 C 开始的连续 8 个全音 (C3 D3 E3 F3 G3 A3 B3 C4),它们在钢琴上正好是 8 个白键。其中除 E3 和 F3 以及 B3 和 C4 之间相差半音,其余都相差全音。
口诀:全全半全全全半。
如果调性发生变化,一个纯八度内的 8 个音的频率变化是相同的,即仍然遵循“全全半全全全半”的口诀。
自然/变化 半音/全音
自然半音:两个不同的基本音所构成的半音。例如:E—F、B—C、C—Db、C#—D 等。
变化半音:两个相同的基本音所构成的半音。例如:C—C#、D—Db 等。
自然全音:两个不同的基本音所构成的全音。例如:F—G、A—B、C#—D# 等。
变化全音:两个相同的基本音所构成的全音。例如:Cb—C#、Db—D# 等。