认识钢琴
钢琴一共有 88 个键，其中 52 个白键，36 个黑键。其中，白键所对应的音称为基本音级，黑键所对应的音称为变化音级。
如图所示，红色的圆表示中央 C，其频率为 261.63 Hz。从 C 开始，顺次对后面的六个白键进行命名，分别是 D、E、F、G、A、B。将这 7 个白键及其中间的 5 个黑键构成一组，称为一个八度。在钢琴上，可以找到 7 个八度，分别是 C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7。而中央 C 所在的音规定为 C4。
科学音高记号法（Scientific Pitch Notation，SPN）是一种标准化的音高标记系统，用于精确地表示音乐中的音高。它通过结合音名和音组编号来区分不同的八度音域，从而避免了音高混淆的问题。这种方法在音乐理论、乐器演奏、声学研究等领域广泛应用。
科学音调记号法规定，中央 C 所对应的音命名为 C4。
十二平均律
将纯八度 12 等分，每份称为一个半音，每两份称为一个全音。于是，全音和半音有了自然和变化之分：
- 自然半音：两个不同的基本音所构成的半音。例如：E-F、B-C、C-D♭、C♯-D 等。
- 变化半音：两个相同的基本音所构成的半音。例如：C-C♯、D-D♭ 等。
- 自然全音：两个不同的基本音所构成的全音。例如：F-G、A-B、C♯-D♯ 等。
- 变化全音：两个相同的基本音所构成的全音。例如：C♭-C♯、D♭-D♯ 等。
数学解释
由于音高的本质是波的频率，所以相当于是将连续的频率 12 等分为离散的半音。并且，每相邻的两个音频率之比相等（注意是比而不是差），所以其频率形成了一个等比数列。假设中央 C 的频率是 $f$，那么升高八度后的频率就是 C 的 2 倍 $2f$。设这个等比数列的公比为 $q$，那么可以列出下列方程：
$$ \begin{align} f q^{12} &= 2f \\ q &= \sqrt[12]{2} \approx 1.059463 \end{align} $$计算结果表明，每半音之间的频率之比是一个定值 $\sqrt[12]{2}$。
在钢琴上，半音之间的琴键必然是最近且相邻的，全音则隔着一个半音，但可能相邻也可能不相邻。
例如，从中央 C 开始的连续 8 个全音 C4-D4-E4-F4-G4-A4-B4-C5，它们在钢琴上正好是 8 个白键。其中除 E4 和 F4 以及 B4 和 C5 之间相差半音，其余都相差全音。这个可以编成一句口诀：“全全半全全全半”。
如果调性发生变化，一个纯八度内的 8 个音的频率变化是相同的，即仍然遵循“全全半全全全半”的口诀。在调式一节中，我们将会了解到这就是自然大调的调式。
泛音列
学习本小节内容之前，请先学习音程的相关知识。
泛音列是音高的一种表示方法，它将音高表示为一系列泛音的频率。泛音列的频率是基频的整数倍，基频是最低的泛音的频率。例如，基频为 100 Hz 的音高，其泛音列的频率为 100 Hz、200 Hz、300 Hz、400 Hz 等。如果用 $f$ 来表示基频，那么其泛音列相邻两个音之间的度数关系为：
| 频率 | 音程 |
|---|---|
| $f$ | 纯一度 |
| $2f$ | 纯八度 |
| $3f$ | 纯五度 |
| $4f$ | 纯四度 |
| $5f$ | 大三度 |
| $6f$ | 小三度 |
| $7f$ | 大二度 |
| $8f$ | 小二度 |
| …… | …… |
由此可以得出结论：随着泛音列的频率增加，音程越来越小。我们的听感就会觉得音越来越密集。
泛音列的基本原理广泛应用于和声中，因为它最符合人类耳朵的听觉习惯。符合上密下疏的和弦听起来就非常得干净、自然，而上疏下密的和弦听起来就非常浑浊。后者浑浊的原因恰恰就在于，多个低音的泛音列叠加在一起，频率非常密集；而高音的泛音列则非常稀疏，导致高音的泛音列被淹没在低音的泛音列中，从而听不清。
数学解释
泛音列的本质其实就是基波与谐波的关系。任何发声体的振动（如琴弦、空气柱）都包含基波（频率最低的振动模式）和一系列谐波（频率为基波整数倍的振动模式）。这些振动模式叠加后，形成了我们听到的复合声波。
- 基波：决定了声音的音高（例如，基频为 440 Hz 对应标准音 A4）。
- 谐波：决定了声音的音色（例如，同样音高的钢琴和小提琴声音不同，正是因为它们的谐波分布不同）。
用傅里叶（Fourier）级数可以很好地理解：
$$ f(t) = \sum_{i=1}^{\infty} A_i \sin(2i \pi f_0 t) $$- $f_0$ 是基频，对应基波
- $i$ 表示各整数倍的谐波
- $if_0$ 就表示谐波频率
- $A_i$ 就表示各谐波的振幅，它决定了音色特征