凸优化
凸函数
对数凹函数和对数凸函数

对数凹函数和对数凸函数

定义

如果对所有的 x∈dom⁡fx \in \operatorname{dom} f 有 f(x)>0f(x) > 0 且 log⁡f\log f 是凹函数，则称函数 ff 是对数凹函数。如果 log⁡f\log f 是凸函数，则称函数 ff 是对数凸函数。

因此，函数 ff 是对数凸的，等价于函数 1/f1/f 是对数凹的。

对数凹凸性可以不借助对数直接表达。考虑函数 f:Rn→Rf: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}，其定义域是凸集，且对于 ∀x∈dom⁡f\forall x \in \operatorname{dom} f 有 f(x)>0f(x) > 0，则函数是对数凹的，当且仅当对 ∀x,y∈dom⁡f\forall x, y \in \operatorname{dom} f，0⩽θ⩽10 \leqslant \theta \leqslant 1，有

f(θx+(1−θ)y)⩾f(x)θf(y)1−θ f(\theta x+(1-\theta) y) \geqslant f(x)^{\theta} f(y)^{1-\theta}

特别地，若令 θ=12\theta = \dfrac{1}{2}，则可以得到如下结论：对数凹函数在两点中间的函数值不小于这两点函数的几何平均值，即

f(x+y2)⩾f(x)f(y) f(\dfrac{x + y}{2}) \geqslant \sqrt{f(x)f(y)}

根据函数复合规则，我们知道如果函数 hh 是凸函数，则函数 ehe^h 是凸函数，因此对数凸函数是凸函数。类似地，非负凹函数是对数凹函数。此外，由于对数函数是单调增函数，所以对数凸函数是拟凸函数，对数凹函数是拟凹函数。

举例

  • 仿射函数 f(x)=a⊤x+bf(x) = a^{\top}x + b 在 {x∣a⊤x+b>0}\{ x \mid a^{\top}x + b > 0 \} 上是对数凹函数。

  • 幂函数 f(x)=xaf(x) = x^a 在 R++\mathbf{R}_{++} 上当 a⩽0a \leqslant 0 时是对数凸函数，当 a⩾0a \geqslant 0 时是对数凹函数。

  • 指数函数 f(x)=eaxf(x) = e^{ax} 既是对数凸函数也是对数凹函数。

  • Gauss 概率密度函数的累积分布函数是对数凹函数。

Φ(x)=12π∫−∞xe−u2/2du \Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-u^{2} / 2} \mathrm{d} u
  • Γ\Gamma 函数在 [1,+∞)[1, +\infty) 上是对数凸函数。
Γ(x)=∫0∞ux−1e−udu \Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} u^{x-1} e^{-u} \mathrm{d} u

  • 行列式 det⁡X\det X 在 S++n\mathbf{S}^n _{++} 上是对数凹函数。

  • 行列式与迹之比 det⁡X/tr⁡X\det X / \operatorname{tr} X 在 S++n\mathbf{S}^n _{++} 上是对数凹函数。

相关性质

二次可微的对数凸/凹函数

假设函数 ff 是二次可微的，并且 dom⁡f\operatorname{dom} f 是凸的，那么

∇2log⁡f(x)=1f(x)∇2f(x)−1f(x)2∇f(x)∇f(x)⊤ \nabla^{2} \log f(x)=\dfrac{1}{f(x)} \nabla^{2} f(x)-\dfrac{1}{f(x)^{2}} \nabla f(x) \nabla f(x)^{\top}

因此，判断函数 ff 的对数凹凸性，只需要分别令二阶导数大于零（凸）和小于零（凹），即

f(x)∇2f(x)⪰∇f(x)∇f(x)⊤f(x)∇2f(x)⪯∇f(x)∇f(x)⊤ \begin{aligned} f(x) \nabla^{2} f(x) \succeq \nabla f(x) \nabla f(x)^{\top} \\ f(x) \nabla^{2} f(x) \preceq \nabla f(x) \nabla f(x)^{\top} \end{aligned}

乘积、求和与积分

乘积运算能够保持函数的对数凸性，这是因为对数运算和加法运算是能够保持函数的凸性。

h(x)=f(x)g(x)log⁡h(x)=log⁡f(x)+log⁡g(x) \begin{aligned} h(x) &= f(x)g(x) \\ \log h(x) &= \log f(x) + \log g(x) \end{aligned}

然而，求和运算并不能够绝对保证函数的对数凸性。对数凹函数的和一般不是对数凹函数，而对数凸函数的和仍然是对数凸函数。

因此，对数凸函数的积分也是对数凸函数。例如，非负函数 p(x)p(x) 的 Laplace 变换：

P(z)=∫p(x)e−z⊤xdx P(z)=\int p(x) e^{-z^{\top} x} \mathrm{d} x

对数凹函数的积分

对数凹函数的积分仍然是对数凹函数需要满足如下条件：如果函数 f:Rn×Rm→Rf: \mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R} 是对数凹函数，那么

g(x)=∫f(x,y)dy g(x) = \int f(x, y) \mathrm{d} y

是对数凹函数（此时是在 Rm\mathbf{R}^m 上求积分）。

这个结论具有重要意义。它可以用来证明对数凹性对卷积运算也是封闭的，即如果函数 ff 和 gg 在 Rm\mathbf{R}^m 上是对数凹函数，则它们的卷积

(f∗g)(x)=∫f(x−y)g(y)dy (f * g)(x)=\int f(x-y) g(y) \mathbf{d} y

仍然是对数凹函数。这是因为：1. 乘积是保对数凹凸性的；2. 对数凹函数的积分仍然是对数凹函数。

设 C⊆RnC \subseteq \mathbf{R}^n 是凸集，ww 是 Rn\mathbf{R}^n 上的随机向量，设其具有对数凹性的概率密度函数 pp，则函数

f(x)=prob⁡(x+w∈C)=∫g(x+w)f(w)dw \begin{aligned} f(x) &= \operatorname{prob} (x + w \in C) \\ &= \int g(x + w)f(w) \mathrm{d} w \end{aligned}

是 xx 的对数凹函数，其中 gg 定义为

g(u)={1u∈C0u∉C g(u)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & u \in C \\ 0 & u \notin C \end{array}\right.
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