函数

连续

如果对 $\forall \epsilon > 0$，$\exists \delta$ 满足

$$\begin{aligned} y \in \operatorname{dom} f, \quad\|y-x\| _{2} \leqslant \delta \Longrightarrow\|f(y)-f(x)\| _{2} \leqslant \epsilon \end{aligned}$$

则称函数 $f: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m$ 在 $x \in \operatorname{dom} f$ 处连续。

可以用极限来描述函数的连续性：

$$\begin{aligned} \lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x _{i}\right)=f\left(\lim _{i \rightarrow \infty} x _{i}\right) \end{aligned}$$

函数连续是指它在定义域上每个点都连续。

闭函数

对于函数 $f: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}$，如果对 $\forall \alpha \in \mathbf{R}$，集合 $\{x \in \operatorname{dom} f \mid f(x) \leqslant \alpha\}$ 是闭集，则称函数 $f$ 是闭函数。

对于连续函数 $f: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}$，如果 $\operatorname{dom} f$ 是闭集，那么 $f$ 是闭函数；如果 $\operatorname{dom} f$ 是开集，那么 $f$ 是闭函数的充要条件是 $f$ 将沿着任何收敛于 $\operatorname{dom} f$ 的边界点的序列趋于 $\infty$。

来看 $\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 上的一些简单例子：

$$f = x \log{x} \quad \operatorname{dom}f = (0, +\infty)$$

而

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \log{x} = 0 \neq \infty \end{aligned}$$

因此不是闭函数。

再比如

$$f = \log{x} \quad \operatorname{dom}f = (0, +\infty)$$

而

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \log{x} = -\infty \end{aligned}$$

且

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow +\infty} \log{x} = +\infty \end{aligned}$$

因此是闭函数。