对偶锥与广义不等式

对偶锥

若 $K$ 为一个锥，则集合

$$\begin{aligned} K^{*} = \{y \mid x^{\top} y \geqslant 0, \forall x \in K\} \end{aligned}$$

称为 $K$ 的对偶锥。从几何上看，对偶锥 $K^{*}$ 是与锥 $K$ 内的所有向量夹角不超过 $90$ 度的所有向量组成的集合。如图所示，以 $y$ 为法向量的半空间包含锥 $K$，因此 $y \in K^{*}$；而以 $z$ 为法向量的半空间不包含锥 $K$，因此 $z \notin K^{*}$。

对偶锥的性质

• $K^{*}$ 是闭凸锥。
• $K_1 \subseteq K_2 \Rightarrow K_2^{*} \subseteq K_1^{*}$。
• 如果 $K$ 有非空内部，那么 $K^{*}$ 是尖的。
• 如果 $K$ 的闭包是尖的，那么 $K^{*}$ 有非空内部。
• $K^{**}$ 是 $K$ 的凸包的闭包。因此如果 $K$ 是凸和闭的，那么 $K^{**}=K$。

广义不等式的对偶

若凸锥 $K$ 是正常锥，则其对偶锥 $K^{*}$ 也是正常锥，它可以导出一个广义不等式 $\preceq_{K^{*}}$。

广义不等式及其对偶的性质

$$\begin{aligned} x \preceq_K y \Leftrightarrow \forall \lambda \succeq _{K^{*}} 0, \lambda^{\top} x \leqslant \lambda^{\top} y \\ x \prec_K y \Leftrightarrow \forall \lambda \succeq _{K^{*}} 0 \wedge \lambda \ne 0, \lambda^{\top} x < \lambda^{\top} y \end{aligned}$$

对偶不等式定义的最（极）大（小）元

最小元的对偶性质

$x$ 是 $S$ 上关于广义不等式 $\preceq_K$ 的最小元的充要条件是，对于 $\forall \lambda \succ_{K^{*}} 0$，$x$ 是在 $z \in S$ 上极小化 $\lambda^{\top} z$ 的唯一最优解。从几何上看，这意味着对于 $\forall \lambda \succ_{K^{*}} 0$，超平面 $\{z \mid \lambda^{\top} (z-x) = 0\}$ 是在 $x$ 处对 $S$ 的一个严格支撑超平面。如图所示。

极小元的对偶性质

如果 $\lambda \succ _{K^{*}} 0$ 并且 $x$ 在 $z \in S$ 上极小化 $\lambda^{\top} z$，那么 $x$ 是极小的，如图所示。

其逆命题在一般情况下是不成立的。