保凸运算

交集

交集运算是保凸的：如果 $S_1$ 和 $S_2$ 是凸集，那么 $S_1 \cap S_2$ 也是凸集。这个性质可以推广到无穷个凸集的交。

仿射函数

函数 $f: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m$ 若满足 $f(x) = Ax + b$，其中 $A \in \mathbf{R}^{m \times n}$，$b \in \mathbf{R}^m$，则称 $f$ 是仿射函数。设 $S \subseteq \mathbf{R}^n$ 是凸的，那么 $S$ 在 $f$ 下的象

$$\begin{aligned} f(S) = \{f(x) \mid x \in S\} \end{aligned}$$

也是凸的。从几何上看，凸集经过伸缩变换和平移变换后仍然是凸集。一个凸集向它的某几个坐标的投影也是凸的。

双曲锥

$$\begin{aligned} \{x \mid x^{\top} P x \leqslant\left(c^{\top} x\right)^{2}, c^{\top} x \geqslant 0\} \end{aligned}$$

其中 $P \in \mathbf{S}_+^n$，$c \in \mathbf{R}^n$。这是因为它是二阶锥

$$\begin{aligned} \{(z, t) \mid z^{\top}z \leqslant t^2, t \geqslant 0\} \end{aligned}$$

在仿射函数 $f(x) = (P^{1/2}x, c^{\top}x)$ 下的原象。

椭球

$$\begin{aligned} \mathcal{E}=\{x \mid\left(x-x_{c}\right)^{\top} P^{-1}\left(x-x_{c}\right) \leqslant 1\} \end{aligned}$$

是单位 Euclid 球 $\{u \mid \|u\| _2 \leqslant 1\}$ 在仿射函数 $f(u) = P^{1/2}u + x_c$ 下的象，其中 $P \in \mathbf{S} _{++} ^{n}$。

透视函数

定义 $P: \mathbf{R}^{n+1} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$，$P(z, t) = z/t$ 为透视函数，其定义域为 $\operatorname{dom} P = \mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}_{++}$。透视函数对向量进行伸缩，或称为规范化，使得最后一维分量为 $1$ 并舍弃之。

一个凸集在透视函数下的象和原象也是凸的，因此透视运算是保凸运算。

线性分式函数

线性分式函数有透视函数和仿射函数复合而成。设 $g: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m+1}$ 是仿射的，即

$$\begin{aligned} g(x) & = \left[\begin{array}{c} A \\ c^{\top} \end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l} b \\ d \end{array}\right] \end{aligned}$$

其中 $A \in \mathbf{R}^{m \times n}$，$b \in \mathbf{R}^{m}$，$c \in \mathbf{R}^{n}$ 并且 $d \in \mathbf{R}$。则由 $f = P \circ g$ 给出的函数 $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$

$$\begin{aligned} f(x) & = \frac{A x+b}{c^{\top} x+d}, \quad \operatorname{dom} f = \{x \mid c^{\top} x+d>0\} \end{aligned}$$

称为线性分式函数（或投射函数）。如果 $c=0$，$d > 0$，则 $f$ 是仿射函数。因此，仿射函数和线性函数被视为特殊的线性分式函数。线性分式函数也是保凸运算。