凸优化 凸集 分离与支撑超平面 分离与支撑超平面 超平面分离定理 设两个凸集 C∩D=∅C \cap D = \emptysetC∩D=∅，那么 ∃a≠0,b\exists a \ne 0, b∃a=0,b 使得对 ∀x∈C\forall x \in C∀x∈C 有 a⊤x⩽ba^{\top}x \leqslant ba⊤x⩽b，对 ∀x∈D\forall x \in D∀x∈D 有 a⊤x⩾ba^{\top}x \geqslant ba⊤x⩾b。称超平面 {x∣a⊤x=b}\{x \mid a^{\top}x = b\}{x∣a⊤x=b} 为凸集 CCC 和 DDD 的分离超平面，如图所示： 分离超平面 注： 严格分离：即超平面分离定理中的等号不成立。 超平面分离定理的逆命题：不成立。 支撑超平面 设 C⊆RnC \subseteq \mathbf{R}^{n}C⊆Rn 而 x0x_0x0 是其边界 bdC\operatorname{bd} CbdC 上的一点。如果 a≠0a \ne 0a=0，并且对 ∀x∈C\forall x \in C∀x∈C 有 a⊤x=a⊤x0a^{\top} x = a^{\top} x_0a⊤x=a⊤x0，那么称超平面 {x∣a⊤x=a⊤x0}\{x \mid a^{\top} x = a^{\top} x_0\}{x∣a⊤x=a⊤x0} 为集合 CCC 在点 x0x_0x0 处的支撑超平面。从几何上看，超平面 {x∣a⊤x=a⊤x0}\{x \mid a^{\top} x = a^{\top} x_0\}{x∣a⊤x=a⊤x0} 与 CCC 相切于点 x0x_0x0，半空间 {x∣a⊤x⩽a⊤x0}\{x \mid a^{\top} x \leqslant a^{\top} x_0\}{x∣a⊤x⩽a⊤x0} 包含 CCC，如图所示： 支撑超平面 广义不等式对偶锥与广义不等式
