分析

开集和闭集

对于 $x \in C \subseteq \mathbf{R}^n$，如果存在 $\epsilon > 0$ 使得

$$\begin{aligned} \{y \mid\|y-x\|_{2} \leqslant \epsilon\} \subseteq C \end{aligned}$$

即存在一个以 $x$ 为中心的完全包含于 $C$ 的球，则称 $x$ 为 $C$ 的内点。$C$ 的所有内点组成的集合称为 $C$ 的内部，记作 $\operatorname{int}C$。若 $\operatorname{int}C = C$，则称集合 $C$ 为开集。若集合 $C \subseteq \mathbf{R}^n$ 的补集 $\mathbf{R}^{n} \backslash C=\{x \in \mathbf{R}^{n} \mid x \notin C\}$ 是开集，则称集合 $C$ 为闭集。

如图所示，在二维平面中，不包含边界的多边形是开集（左图所示），包含边界的扇形是闭集（右图所示）。实际上，开集和闭集的概念可以看作是实数集上开区间和闭区间在 $n$ 维空间中的推广。

闭包

$$\begin{aligned} \textbf{cl } C=\mathbf{R}^{n} \backslash \textbf{ int}(\mathbf{R}^{n} \backslash C) \end{aligned}$$

集合 $C$ 的闭包即为补集内部的补集。在上面的图中，左图不含边界的圆的闭包正好是右边包含边界的圆，而右边包含边界的圆的闭包正好是它本身。点 $x$ 属于 $C$ 的闭包的条件是：对于 $\forall \epsilon > 0$，$\exists y \in C$ 使得 $\|x-y\| _2 \leqslant \epsilon$。

边界

$$\begin{aligned} \textbf{bd } C=\textbf{cl } C \backslash \textbf{int } C \end{aligned}$$

显然，边界实际上就是集合的闭包去掉它所有的内点。我们可以用边界来刻画开集和闭集：

• 开集：不含有边界点，即 $C \cap \textbf{bd } C = \emptyset$。
• 闭集：包含边界，即 $\textbf{bd } C \in C$。

上确界和下确界

假定 $C \subseteq \mathbf{R}$。如果对 $\forall x \in C$，$\exists a \in \mathbf{R}$ 使得 $x \leqslant a$ 恒成立，则称 $a$ 为 $C$ 的上界。其中，使得 $x \leqslant a$ 成立的最小的 $a$ 称为最小上界或者上确界，记作 $\sup C$。

我们规定：

• $\sup \emptyset = - \infty$
• 当 $C$ 无上界时 $\sup C = \infty$

当 $\sup C \in C$ 时，我们说 $C$ 的上确界是可达的。

类似地，我们可以很容易给出下确界的定义。本文从略。