凸优化
数学基础
函数

函数

连续

如果对 ∀ϵ>0\forall \epsilon > 0，∃δ\exists \delta 满足

y∈dom⁡f,∥y−x∥2⩽δ⟹∥f(y)−f(x)∥2⩽ϵ \begin{aligned} y \in \operatorname{dom} f, \quad\|y-x\| _{2} \leqslant \delta \Longrightarrow\|f(y)-f(x)\| _{2} \leqslant \epsilon \end{aligned}

则称函数 f:Rn→Rmf: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m 在 x∈dom⁡fx \in \operatorname{dom} f 处连续。

dom⁡f\operatorname{dom} f 表示函数 f:Rn→Rmf: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m 的前域。根据离散数学的相关知识，ff 是笛卡尔积 Rn×Rm\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^m 的子集，其前域（定义域）是 Rn\mathbf{R}^n 的子集。

可以用极限来描述函数的连续性：

lim⁡i→∞f(xi)=f(lim⁡i→∞xi) \begin{aligned} \lim _{i \rightarrow \infty} f\left(x _{i}\right)=f\left(\lim _{i \rightarrow \infty} x _{i}\right) \end{aligned}

函数连续是指它在定义域上每个点都连续。

闭函数

对于函数 f:Rn→Rf: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}，如果对 ∀α∈R\forall \alpha \in \mathbf{R}，集合 {x∈dom⁡f∣f(x)⩽α}\{x \in \operatorname{dom} f \mid f(x) \leqslant \alpha\} 是闭集，则称函数 ff 是闭函数。

对于连续函数 f:Rn→Rf: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}，如果 dom⁡f\operatorname{dom} f 是闭集，那么 ff 是闭函数；如果 dom⁡f\operatorname{dom} f 是开集，那么 ff 是闭函数的充要条件是 ff 将沿着任何收敛于 dom⁡f\operatorname{dom} f 的边界点的序列趋于 ∞\infty。

来看 R→R\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} 上的一些简单例子：

f=xlog⁡xdom⁡f=(0,+∞) f = x \log{x} \quad \operatorname{dom}f = (0, +\infty)

而

lim⁡x→0+xlog⁡x=0≠∞ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \log{x} = 0 \neq \infty \end{aligned}

因此不是闭函数。

再比如

f=log⁡xdom⁡f=(0,+∞) f = \log{x} \quad \operatorname{dom}f = (0, +\infty)

而

lim⁡x→0+log⁡x=−∞ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \log{x} = -\infty \end{aligned}

且

lim⁡x→+∞log⁡x=+∞ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow +\infty} \log{x} = +\infty \end{aligned}

因此是闭函数。

分析导数