从圆锥曲线到二次型

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圆锥曲线及其方程

椭圆的标准方程

$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a,b>0)\end{array}$$

当 $a=b=r$ 时，这个方程表示圆

$$\begin{array}{r}{x}^2+y^2=r^2(r>0)\end{array}$$

双曲线的标准方程

$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a,b>0)\\ {\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}=1(a,b>0)\end{array}$$

抛物线的标准方程

$$\begin{array}{r}{y}^2=2px\\ x^2=2py\end{array}$$

圆锥曲线的一般方程

圆锥曲线的一般方程是一个关于 $x,y$ 的二次方程

$$\begin{array}{}\text{(1)}& A{x}^2+B{y}^2+2Cxy+2Dx+2Ex+F=0\end{array}$$

之所以有部分项的前面有系数 2，是为了方便用高等代数的形式来表示，即

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}A& C& D\\ C& B& E\\ D& E& F\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=0\end{array}\end{array}$$

圆锥曲线的形状判定

旋转变换矩阵

$$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

它是一个正交矩阵，这意味着

$$R{R}^{\mathrm{\top }}=R^{\mathrm{\top }}R=I$$

又因为逆矩阵的定义

$$\begin{array}{r}R{R}^{-1}=R^{-1}R=I\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{r}{R}^{-1}=R^{\mathrm{\top }}\end{array}$$

INFO

正交变换

正交矩阵对应的变换称为正交变换。两个向量经过正交变换后

• 夹角不变
• 模长不变

由此可知，对于曲线（乃至曲面甚至更高维度的超曲面），作正交变换，形状一定不变！

我们所熟知的反比例函数图像为什么是双曲线，是因为

$$\begin{array}{rl}xy& =k\end{array}$$

的两条渐近线分别为 $x$ 轴和 $y$ 轴。作变量变换

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\end{array}$$

反解出

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]\end{array}$$

代入原方程得

$$\begin{array}{rl}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}u+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}v)(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}u+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}v)& =k\\ v^2-u^2& =2k\\ {\displaystyle \frac{v^2}{2k}}-{\displaystyle \frac{u^2}{2k}}& =1\end{array}$$

同样，对勾函数（也称为双勾函数）的图像也是双曲线，是因为

$$\begin{array}{r}y=x+{\displaystyle \frac{k}{x}}\end{array}$$

的两条渐近线分别为

$$\begin{array}{r}x=0\\ y=x\end{array}$$

作变量变换

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}& -\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}\\ \sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}& \cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\end{array}$$

由角平分线第二定理，可以快速计算出 ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ 的正弦值为

$$\begin{array}{rl}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}& =\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}}\\ & =1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ ⟹\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}& =\sqrt{1-{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}}}\\ & =\sqrt{\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$$

接着，求出旋转变换的逆矩阵即可反解出 $x,y$，代入原式即可证明。

矩阵相似对角化

系数矩阵

$$P=\left[\begin{array}{ccc}A& C& D\\ C& B& E\\ D& E& F\end{array}\right]$$

是一个实对称矩阵，所以它必定可相似对角化，即存在可逆矩阵 $Q$，使得

$$\begin{array}{rl}{Q}^{-1}PQ& =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]\\ P& \sim \left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]\end{array}$$

其中，${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$, ${\lambda }_3$ 为特征值。相似的矩阵具有相同的特征值，它刻画了特征向量的伸缩倍数。

注意这里的 ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$ 是直接对 $x,y$ 作用的，它们共同影响了圆锥曲线的形状。下面我们就来进行深入分析。

圆锥曲线的不变量

圆锥曲线一共有如下 3 个不变量

$$\begin{array}{rl}{I}_1& =\mathrm{tr}\left(\begin{array}{cc}A& C\\ C& B\end{array}\right)=A+B\\ I_2& =\det \left(\begin{array}{cc}A& C\\ C& B\end{array}\right)=AB-C^2\\ I_3& =\det \left(\begin{array}{ccc}A& C& D\\ C& B& E\\ D& E& F\end{array}\right)\end{array}$$

其中，$I_2$ 是重要的判断圆锥曲线形状的依据。若

$$\left[\begin{array}{cc}A& C\\ C& B\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \\ & {\lambda }_2\end{array}\right]$$

作为对角矩阵的特征值，不妨设 ${\lambda }_1<{\lambda }_2$，那么

1. 若 $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2$, 则该圆锥曲线是椭圆。
2. 若 ${\lambda }_1<0<{\lambda }_2$, 则该圆锥曲线是双曲线。
3. 若 $0={\lambda }_1<{\lambda }_2$，则该圆锥曲线是抛物线。

并且，可以确定椭圆或双曲线的离心率为

$$e=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}}}\{\begin{array}{l}=0\text{圆}\\ \in (0,1)\text{椭圆}\\ =1\text{抛物线}\\ \in (1,+\mathrm{\infty })\text{双曲线}\end{array}$$

又因为任意方阵 $A$ 的所有特征值之积等于 $A$ 的行列式，即

$$\prod _i{\lambda }_i=\det A$$

所以

$$I_2=AB-C^2\{\begin{array}{l}<0\text{双曲线}\\ =0\text{抛物线}\\ >0\text{椭圆}\end{array}$$

INFO

为什么不用 $I_3$ 来判断圆锥曲线的形状呢？

注意在系数矩阵中，是包含比二次项次数更低的一次项和常数项的。在比二次项次数更低的分量上进行线性运算，只能是维度更低的运算，例如平移、投影等。低维运算对高维特征没有影响。

研究圆锥曲线的形状，二次齐次式是关键。在三维空间乃至更高维度也是如此，归根结底是二次齐次式。这也是为什么要定义二次型的原因。

二次曲面及其方程

从二维升至三维后，情况虽然变得更为复杂，但是总有一些根本的不变量和规律。首先，我们先直观地感受一下二次曲面的种类和分类。

椭球面

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=1(a,b,c>0)$$

特别地，当 $a=b=c=r$ 时，方程表示球面

$$x^2+y^2+z^2=r^2(r>0)$$

由于双曲线和抛物线不是封闭曲线，所以它们不可能形成类似于球面的封闭曲面。

椭圆锥面

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=z^2(a,b>0)$$

特别地，当 $a=b=r$ 时，方程表示圆锥面

$${\displaystyle \frac{x^2}{r^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{r^2}}=z^2(r>0)$$

二次柱面

圆锥曲线沿某个坐标轴运动的轨迹就形成了二次柱面，即

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}& =1(a,b>0)\\ {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}& =1(a,b>0)\\ y^2& =2px\end{array}$$

双曲面

双曲线沿其不同的对称轴旋转的轨迹形成了不同的双曲面，包括单叶双曲面和双叶双曲面，即

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}& =1(a,b,c>0)\\ {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}& =1(a,b,c>0)\end{array}$$

抛物面

椭圆和双曲线的标准方程都是二次齐次式，它们可以在更高的三维空间中和抛物线相结合，形成椭圆抛物面和双曲抛物面（马鞍面）。

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}& =z(a,b>0)\\ {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}& =z(a,b>0)\end{array}$$

二次曲面的一般方程

通过类比推理，二次曲面的一般方程是一个关于 $x,y,z$ 的二次方程。用高等代数的形式表示就是

$$\left[\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}A& D& E& G\\ D& B& F& H\\ E& F& C& J\\ G& H& J& K\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]=0$$

同理，二次齐次式的系数矩阵

$$\left[\begin{array}{ccc}A& D& E\\ D& B& F\\ E& F& C\end{array}\right]$$

是判断二次曲面类型的关键。当维度升高后，有必要引入一套更加规范化的理论，这就是二次型。

二次型

$$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)& =\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\\ & =x^{\mathrm{\top }}Ax\end{array}$$

通过二次型的定义，可以将 $n$ 维空间的任意一个超二次曲面的方程和一个 $n$ 阶对称矩阵对应起来。

矩阵合同

两个矩阵 $A,B$ 合同，即

$$\begin{array}{r}A\simeq B\end{array}$$

等价于，存在一个可逆矩阵 $Q$，使得

$$\begin{array}{rl}{Q}^{\mathrm{\top }}AQ& =B\end{array}$$

二次型在可逆变换前后，矩阵合同。又因为二次型和实对称矩阵一一对应，所以任何二次型的系数矩阵一定和一个对角矩阵合同。

INFO

矩阵等价、合同、相似

顾名思义，“等价、合同、相似”，直观的感受是需要满足的条件越来越多，满足后者则一定满足前者。然而，实际情况会更复杂一些。

两个矩阵等价，说明它们的秩相等。这意味着，向量组线性相关，可以互相线性表示。

两个矩阵合同，说明它们在秩相等的基础上，正负惯性指数相等。

两个矩阵相似，说明它们不光正负惯性指数相等，而且还有相同的特征值。

上述关于相似和合同的结论仅仅只是在实对称矩阵上才成立。对于一般的 $n$ 阶方阵，合同和相似没有任何关系，但它们都一定能推出等价。

标准形

只含平方项的二次型被称为二次型的标准形，即

$$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)& =\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\\ & ={\lambda }_1{x}_1^2+{\lambda }_2{x}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n^2\end{array}$$

任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。具体步骤如下：

1. 求特征值和特征向量
2. 确定齐次线性方程的基础解系
3. 施密特正交化、单位化，得到正交变换矩阵

我们再回到二维平面中，定义二次型

$$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2=k(k>0)$$

• 若 $a>0,b>0$，二次型表示椭圆。
• 若 $ab<0$，二次型表示双曲线。

由于抛物线的方程不是二次齐次式，按上述定义无法通过二次型表示抛物线。参考前文的内容，不难发现，一般的二次多项式若表示抛物线，须满足

$$\begin{array}{rl}{I}_2& =\det \left(\begin{array}{cc}A& C\\ C& B\end{array}\right)=AB-C^2=0\\ I_3& =\det \left(\begin{array}{ccc}A& C& D\\ C& B& E\\ D& E& F\end{array}\right)\ne 0\end{array}$$

类似地，在三维空间中，定义二次型

$$f(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=k(k⩾0)$$

• 若 $a,b,c$ 都大于 0，二次型表示椭球面。
• 若 $a,b,c$ 有且仅有一个小于 0，二次型表示单叶双曲面。
• 若 $a,b,c$ 有且仅有两个小于 0，二次型表示双叶双曲面。
• 若 $abc=0$，二次型是一个柱面。
• 若 $a,b,c$ 不都同号，且 $k=0$，二次型表示椭圆锥面。

同样地，上述二次齐次式无法表示抛物面。可以用类似二维平面的方法，通过二次曲面的不变量来判断。

规范形和惯性指数

通过上述分析，我们发现二次型的标准形的正负是一个重要指标。通过可逆变换（不能是正交变换），可以把二次型化为规范形。

二次型的规范形经过伸缩变换，特征值发生了变化，且取值范围只能是 $\{1,-1,0\}$。大于 0 的特征值个数称为正惯性指数，小于 0 的特征值个数称为负惯性指数。

正定二次型

如果一个二次型的特征值都大于 0，即正惯性指数 $p=n$，那么该二次型就是一个正定二次型。显然，椭圆、椭球面都是正定二次型，双曲线、双曲面都是不定二次型。

不难发现，不论是二维平面的椭圆，还是三维空间的椭球面，它们具有一个共同的特点：封闭。这意味着，如果一个多元函数是正定的，那么它必然存在最优解。这在凸优化等领域得到广泛应用。