第 3 章 出生—死亡过程

把“系统里有几位顾客”作为状态，就能把很多队列转成一条状态链。到达使人数增加 1，服务完成使人数减少 1；教材把这种连续时间随机过程称为出生—死亡过程。

状态变化规律

当系统处于状态 $j$ 时，令 ${\lambda }_j$ 为到达（出生）速率，${\mu }_j$ 为服务完成（死亡）速率。在很短的时间 $\mathrm{\Delta }t$ 内，

$$P(j\to j+1)={\lambda }_j\mathrm{\Delta }t+o(\mathrm{\Delta }t),P(j\to j-1)={\mu }_j\mathrm{\Delta }t+o(\mathrm{\Delta }t).$$

状态不能为负，因此 ${\mu }_0=0$。对 M/M/1 队列，${\lambda }_j=\lambda$，而 $j\ge 1$ 时 ${\mu }_j=\mu$。对多服务台队列，当有 $j$ 位顾客时，忙碌服务台数为 $min(j,s)$，所以 ${\mu }_j=min(j,s)\mu$。

稳态流量平衡

若长期稳态存在，记 ${\pi }_j$ 为系统恰有 $j$ 位顾客的概率。流量平衡方程可写成相邻状态之间的平衡：

$${\pi }_j{\lambda }_j={\pi }_{j+1}{\mu }_{j+1},j\ge 0.$$

于是

$${\pi }_j={\pi }_0\prod _{i=0}^{j-1}\frac{{\lambda }_i}{{\mu }_{i+1}},{\pi }_0={(1+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{i=0}^{j-1}\frac{{\lambda }_i}{{\mu }_{i+1}})}^{-1}.$$

有限容量时求和只到最大状态；无限容量时，归一化级数必须收敛。若到达长期快于系统最大服务能力，概率无法归一化，也就没有稳态分布。“有公式”不等于“系统稳定”：先检查稳态条件，再代入概率公式。

为什么是“流量平衡”，不是人数相等？

流量平衡比较的是单位时间内跨越状态边界的概率流率。稳态下，每个状态进入与离开的长期速率相等；否则概率质量会不断堆到某些状态。将得到的 ${\pi }_j$ 归一化后，可以计算平均系统人数：

$$L=\sum _{j\ge 0}j{\pi }_j.$$

​教材对应​：原书编号 20.3，含稳态方程的流量平衡解释以及用递推/表格计算状态概率的例题。