第 5 章 有限容量的 M/M/1/K

当候诊室、缓存或停车区有明确上限时，无限容量 M/M/1 会高估系统能接纳的顾客数。M/M/1/K 的状态只能是 $0,1,\dots ,K$；$K$ 包括正在服务的顾客。

满员时发生什么？

假设外部到达仍为速率 $\lambda$ 的泊松过程，服务率为 $\mu$。状态达到 $K$ 时，新到顾客无法进入并离开系统（损失/阻塞）。令 $\rho =\lambda /\mu$，则当 $\rho \ne 1$：

$${\pi }_0=\frac{1-\rho }{1-{\rho }^{K+1}},{\pi }_j={\pi }_0{\rho }^j,0\le j\le K.$$

若 $\rho =1$，各状态概率相同，${\pi }_j=1/(K+1)$。有限容量下即使 $\lambda \ge \mu$，状态空间仍有限，稳态概率依然存在；代价体现在较高的拒绝概率。

计算有效流量与等待

到达时系统已满的概率是 ${\pi }_K$，所以顾客接纳率为 $1-{\pi }_K$，有效到达率为

$${\lambda }_{\mathrm{eff}}=\lambda (1-{\pi }_K).$$

平均系统人数为 $L=\sum _{j=0}^{K}j{\pi }_j$；服务中平均人数 $L_s=1-{\pi }_0$，故 $L_q=L-L_s$。对已进入系统的顾客，使用 Little 定律得到 $W=L/{\lambda }_{\mathrm{eff}}$ 和 $W_q=L_q/{\lambda }_{\mathrm{eff}}$。

当 $\rho \ne 1$，也可直接使用

$$L=\frac{\rho (1-(K+1){\rho }^K+K{\rho }^{K+1})}{(1-\rho )(1-{\rho }^{K+1})}.$$

有限容量模型回答的是“多少人会被拒绝、被接纳者等多久”。不能把外部到达率 $\lambda$ 直接代入 Little 定律来算已接纳顾客的停留时间。

​教材对应​：原书编号 20.5；教材还比较了 $\lambda =\mu$ 与 $\lambda \ne \mu$ 的稳态结果。