第 4 章 M/M/1 与 Little 定律

M/M/1 是最基础的稳态队列：顾客按泊松过程到达，服务时间独立且服从指数分布，只有一个服务台，系统容量和顾客源都无限。先确认这个模型描述的是你要研究的系统，再用它的闭式公式。

稳态条件与状态概率

令到达率为 $\lambda$，服务率为 $\mu$，利用率为

$$\rho =\frac{\lambda }{\mu }.$$

只有 $\rho <1$ 时，单个服务台的长期服务能力才超过到达负荷，稳态才存在。此时

$${\pi }_j=(1-\rho ){\rho }^j,j=0,1,2,\dots$$

系统越接近满负荷，长队出现的概率越高；当 $\rho \to 1$ 时，平均队长和等待时间急剧上升。

平均人数与等待时间

$$L=\frac{\rho }{1-\rho }=\frac{\lambda }{\mu -\lambda },L_q=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }=\frac{{\lambda }^2}{\mu (\mu -\lambda )},$$$$W=\frac{1}{\mu -\lambda },W_q=\frac{\lambda }{\mu (\mu -\lambda )}.$$

系统中平均有 $\rho$ 位顾客正在服务，所以 $L_s=\rho$，且 $L=L_q+L_s$。$W$ 包含服务时间，$W_q$ 不包含服务时间，二者不要混用。

Little 定律：连接人数和时间

在稳定且流量定义一致的系统中，Little 定律为

$$L=\lambda W,L_q=\lambda W_q.$$

它的直觉是“系统里平均人数 = 平均进入速度 × 平均停留时间”。Little 定律不要求到达或服务服从指数分布，但稳定性和顾客流量口径要一致。有限容量且会有顾客被拒绝时，应使用实际进入系统的有效到达率。

教材例题：每小时 10 人到达、服务率每小时 15 人

利用率 $\rho =10/15=2/3$。于是 $L=2$ 人、$L_q=4/3$ 人，$W=1/(15-10)=0.2$ 小时（12 分钟），$W_q=8$ 分钟。结果也符合 Little 定律：$10\times 0.2=2$。

​教材对应​：原书编号 20.4；本章由 M/M/1 推出 Little 定律及队列、服务中的人数和时间公式。