第 13 章 封闭排队网络

制造车间的在制品数量可能固定；计算机系统也可能保持固定数量的任务循环运行。顾客既不从系统外不断加入，也不在完成服务后消失，这类模型称为封闭排队网络。

状态与乘积分布

设网络有 $s$ 个站点，总任务数固定为 $N$，状态为

$$\mathbf{n}=(n_1,\dots ,n_s),n_i\ge 0,\sum _i{n}_i=N.$$

$P_{ij}$ 表示任务离开站点 $i$ 后前往站点 $j$ 的概率。先求访问率比 $v_i$，它满足网络流量关系；因为没有外部流入，解只确定到一个比例尺度，可任取一个方便的归一化值。若站点服务率为 ${\mu }_i$，令 ${\theta }_i=v_i/{\mu }_i$。对于教材讨论的指数服务单服务台网络，状态概率具有形式

$$P_N(\mathbf{n})=\frac{1}{G(N)}\prod _{i=1}^s{\theta }_i^{n_i},$$

其中

$$G(N)=\sum _{\sum _i{n}_i=N}\prod _i{\theta }_i^{n_i}$$

负责把所有状态概率归一化。

Buzen 递推

直接枚举所有状态会很快变得昂贵。Buzen 算法用递推计算归一化常数：

$$C_1(k)={\theta }_1^k,C_i(0)=1,C_i(k)=C_{i-1}(k)+{\theta }_i{C}_i(k-1),$$

最后 $G(N)=C_s(N)$。随后可列举状态概率，或将满足某个站点人数条件的状态概率相加，得到该站平均人数、忙碌概率与吞吐量。

与开放网络的区别

开放网络各站人数可以独立变化，总人数不固定；封闭网络受 $\sum _i{n}_i=N$ 约束，站点人数相互关联。若增加了一个节点的人数，其他节点可用的任务就会减少。

​教材对应​：原书编号 20.13，含三站制造系统、状态概率和 Buzen 递推计算。