第 6 章 多服务台 M/M/s

多个服务台若共用一个等待队列，顾客会去第一个空闲窗口。这个模型比“每个窗口一条队”更能利用空闲服务能力，也避免顾客选到慢队伍。

稳态条件与状态概率

令外部到达率为 $\lambda$，每台服务率为 $\mu$，并行服务台数为 $s$。总服务能力为 $s\mu$，因此稳态条件是

$$\rho =\frac{\lambda }{s\mu }<1.$$

设 $a=\lambda /\mu =s\rho$。空系统概率由归一化确定：

$$P_0={[\sum _{n=0}^{s-1}\frac{a^n}{n!}+\frac{a^s}{s!(1-\rho )}]}^{-1}.$$

有 $n$ 人在系统中时，

$$P_n=\{\begin{array}{ll}{P}_0{\displaystyle \frac{a^n}{n!}},& 0\le n<s,\\ P_0{\displaystyle \frac{a^n}{s!s^{n-s}}},& n\ge s.\end{array}$$

等待概率与等待时间

到达顾客需要等待，当且仅当到达时全部服务台都忙。该概率为

$$P_{\mathrm{wait}}=\frac{a^s}{s!(1-\rho )}{P}_0.$$

因此平均排队人数与时间为

$$L_q=P_{\mathrm{wait}}\frac{\rho }{1-\rho },W_q=\frac{L_q}{\lambda }.$$

再加上平均服务时间 $1/\mu$，得到 $W=W_q+1/\mu$，且 $L=\lambda W$。增加服务台通常会降低等待，但同时增加人力成本；设计时应比较目标等待水平与服务成本，而不只是追求最低利用率。

选型提示

先确认是“多台并行、一个公共队列”，再确认到达与服务是否可近似为指数分布。若服务时间明显偏离指数分布，第 14 章的 $G/G/m$ 近似可以作为下一步。

​教材对应​：原书编号 20.6，包含多服务台状态概率、等待概率与银行柜台配置例题。