广义不等式的单调性和凸性

现在我们考虑广义的单调性和凸性，采用广义不等式，而不是前面几节中讨论的 $R$ 上的顺序。

广义不等式的单调性

设 $K\subseteq {\mathbf{R}}^n$ 是一个正常锥，其相应的广义不等式为 $prece{q}_K$。定义函数 $f:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}$，若

$$x{⪯}_{K}y⟹f(x)⩽f(y)$$

则称函数 $f$ $K$- 非减。若

$$x{⪯}_{K}y\wedge x\ne y⟹f(x)<f(y)$$

则称函数 $f$ $K$- 增。类似地，可以定义 $K$- 非增和 $K$- 减函数。

举例

向量单调函数 $f:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}$ 在 ${\mathbf{R}}_{+}^n$ 上非减，当且仅当

$$\mathrm{\forall }x,y\in \mathrm{dom}f,x_1⩽y_1,\cdots ,x_n⩽y_n⟹f(x)⩽f(y)$$

矩阵单调函数 $f:{\mathbf{S}}^n\to \mathbf{R}$ 如果在半正定锥内函数是单调的，那么函数 $f$ 矩阵单调。例如：

• 函数 $\mathrm{tr}(WX)$，其中 $W\in {\mathbf{S}}^n$。当 $W⪰0$ 时，函数是矩阵非减的；当 $W\succ 0$ 时，函数是矩阵增的。（同理可以推出矩阵非增和矩阵减。）
• 函数 $\mathrm{tr}(X^{-1})$ 在 ${\mathbf{S}}_{++}^n$ 上矩阵减。
• 函数 $detX$ 在 ${\mathbf{S}}_{++}^n$ 上矩阵增，在 ${\mathbf{S}}_{+}^n$ 上矩阵非减。

单调性的梯度条件

考虑可微函数 $f$，其定义域为凸集，它是 $K$- 非减的，当且仅当对 $\mathrm{\forall }x\in \mathrm{dom}f$ 有

$$\mathrm{\nabla }f(x){⪰}_{K^{\ast }}0$$

同理，对于严格的 $K$- 增情况，我们有

$$\mathrm{\nabla }f(x){\succ }_{K^{\ast }}0$$

但反过来不一定正确。

广义不等式的凸性

设 $K\subseteq {\mathbf{R}}^m$ 为正常锥，相应的广义不等式为 ${⪯}_K$。如果对于任意的 $x,y$，以及 $0⩽\theta ⩽1$，有

$$f(\theta x+(1-\theta )y){⪯}_K\theta f(x)+(1-\theta )f(y)$$

则称函数 $f$ 是 $K$- 凸的。如果对于任意的 $x,y\wedge x\ne y$，以及 $0<\theta <1$，有

$$f(\theta x+(1-\theta )y){\prec }_K\theta f(x)+(1-\theta )f(y)$$

则称函数 $f$ 是严格 $K$- 凸的。

举例

关于分量不等式的凸性和矩阵凸性，其结论与上述的类似。这里给出一些具有矩阵凸性函数的例子：

• 函数 $f(X)=X{X}^{\mathrm{\top }}$，其中 $X\in {\mathbf{R}}^{n\times m}$，是矩阵凸的。
• 当 $1⩽p⩽2$ 或 $-1⩽p⩽0$ 时，函数 $X^p$ 在 ${\mathbf{S}}_{++}^n$ 上是矩阵凸的；当 $0⩽p⩽1$ 时，函数是矩阵凹的。

凸函数的很多结论都可以扩展到 $K$- 凸函数。

$K$- 凸的对偶刻画

函数 $f$ 是 $K$- 凸的，当且仅当对任意的 $\omega {⪰}_{K^{\ast }}0$，（实值）函数 ${\omega }^{\mathrm{\top }}f$ 是凸的。

函数 $f$ 是严格 $K$- 凸的，当且仅当对任意非零向量 $\omega {⪰}_{K^{\ast }}0$，函数 ${\omega }^{\mathrm{\top }}f$ 是严格凸的。

可微的 $K$- 凸函数

可微函数 $f$ 是 $K$- 凸的，当且仅当其定义域是凸集，且对 $\mathrm{\forall }x,y\in \mathrm{dom}f$ 有

$$f(y){⪰}_{K}f(x)+Df(x)(y-x)$$

类似地，可以得到严格 $K$- 凸的等价条件：对 $\mathrm{\forall }x,y\in \mathrm{dom}f\wedge x\ne y$ 有

$$f(y){\succ }_{K}f(x)+Df(x)(y-x)$$

复合定理

函数复合暴露凸性的很多结论都可以推广到 $K$- 凸的情形。详见保凸运算一节。