广义不等式

正常锥与广义不等式

若锥 $K \subseteq R^{n}$ 是凸的、闭的、实的（具有非空内部）、尖的（ $x \in K \land - x \in K \Rightarrow x = 0$ ），则称之为正常锥。

正常锥 $K$ 可以用来定义广义不等式，即 $R^{n}$ 上的偏序关系

\begin{matrix} x ⪯_{K} y ⟺ y - x \in K \end{matrix}

严格偏序关系定义为

\begin{matrix} x ≺_{K} y ⟺ y - x \in int K \end{matrix}

INFO

偏序关系与广义不等式

在《离散数学》的课堂中，我们学过二元关系中有一种关系是偏序关系，它满足：

实际上，实数集 $R$ 上的小于等于 $⩽$ 就是一种偏序关系。广义不等式是此概念的推广，不过需要集合是正常锥，因此在 $n$ 维空间的非负象限 $R_{+}^{n}$ 上可以比较向量的大小。（今后使用 $⪯$ 时，如果不加下标，默认是在 $R_{+}^{n}$ 上的广义不等式。）

那么， $R_{+}^{n}$ 上的 $n$ 维向量如何比较大小呢？实际上，相应的广义不等式对于向量间的分量不等式，即

x ⪯ y ⟺ x_{i} ⩽ y_{i}, i = 1, \dots n

相应地，其严格不等式对应于严格的分量不等式，即

x ≺ y ⟺ x_{i} < y_{i}, i = 1, \dots n

正常锥的最（极）大（小）元与《离散数学》课程中的二元关系的相关概念没有本质区别。

设 $x \in S$ ，对 $\forall y \in S$ ，均有 $x ⪯_{K} y$ ，则称 $x$ 是 $S$ 的最小元。最小元是唯一的。 $x$ 是 $S$ 的最小元，当且仅当

\begin{array}{r} S \subseteq x + K \end{array}

这里 $x + K$ 表示可以与 $x$ 相比并且大于或等于（根据 $⪯_{K}$ ） $x$ 的所有元素。

设 $y \in S$ ，若 $y \subseteq_{K} x \Rightarrow y = x$ ，则称 $x$ 是 $S$ 上的极小元。极小元是不唯一的。 $x$ 是 $S$ 上的极小元，当且仅当

\begin{array}{r} (x - K) \cap S = {x} \end{array}