重要凸函数

基本初等函数

• 指数函数：对任意 $a\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=e^{ax}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是凸的。
• 对数函数：函数 $f(x)=\log x$ 在 ${\mathbf{R}}_{++}$ 上是凸函数。
• 幂函数：当 $a⩾1$ 或 $a⩽0$ 时，$f(x)=x^a$ 在 ${\mathbf{R}}_{++}$ 上是凸函数；当 $0⩽a⩽1$，函数 $x^a$ 在 ${\mathbf{R}}_{++}$ 上是凹函数。

复合函数

负熵

函数 $f(x)=x\log x$ 在其定义域上是凸函数。其定义域为 ${\mathbf{R}}_{++}$，但也可以定义在 ${\mathbf{R}}_{+}$ 上（$f(0)=0$），这是因为

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\log x& =\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{\log x}{1/x}}\\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{1/x}{-1/x^2}}\\ & =0\end{array}$$

函数 $f$ 的导数和二阶导数为

$$f^{\prime }(x)=\log x+1,f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}>0$$

范数

${\mathbf{R}}^n$ 上的任意范数均为凸函数。

二次-线性分式函数

二元函数 $f(x,y)={\displaystyle \frac{x^2}{y}}$ 是凸函数，其定义域为

$$\mathrm{dom}f=\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}_{++}=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid y>0\}$$

指数和的对数

函数 $f(x)=\log (e^{x_1}+\cdots +e^{x_n})$ 在 ${\mathbf{R}}^n$ 上是凸函数。

下面是函数 $f(x)=\log (e^x+e^y)$ 的图像。

几何平均数

几何平均数函数 $f(x)={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n}$ 在定义域 $\mathrm{dom}f={\mathbf{R}}_{++}^n$ 上是凹函数。

分段函数

绝对值幂函数

当 $p⩾1$ 时，函数 $|x{|}^p$ 在 $\mathbf{R}$ 上是凸函数。

最大值

最大值函数是凸函数是很显然的。

证明

判断上述函数的凸性可以通过多种途径。可以直接验证一阶条件是否成立，亦可以验证其 Hessian 矩阵是否半正定，或者可以将函数转换到与其定义域相交的任意直线上，通过得到的单变量函数判断原函数的凸性。