对偶锥与广义不等式

对偶锥

若 $K$ 为一个锥，则集合

$$\begin{array}{r}{K}^{\ast }=\{y\mid x^{\mathrm{\top }}y⩾0,\mathrm{\forall }x\in K\}\end{array}$$

称为 $K$ 的对偶锥。从几何上看，对偶锥 $K^{\ast }$ 是与锥 $K$ 内的所有向量夹角不超过 90 度的所有向量组成的集合。如图所示，以 $y$ 为法向量的半空间包含锥 $K$，因此 $y\in K^{\ast }$；而以 $z$ 为法向量的半空间不包含锥 $K$，因此 $z\notin K^{\ast }$。

对偶锥的性质

• $K^{\ast }$ 是闭凸锥。
• $K_1\subseteq K_2\Rightarrow K_2^{\ast }\subseteq K_1^{\ast }$。
• 如果 $K$ 有非空内部，那么 $K^{\ast }$ 是尖的。
• 如果 $K$ 的闭包是尖的，那么 $K^{\ast }$ 有非空内部。
• $K^{\ast \ast }$ 是 $K$ 的凸包的闭包。因此如果 $K$ 是凸和闭的，那么 $K^{\ast \ast }=K$。

广义不等式的对偶

若凸锥 $K$ 是正常锥，则其对偶锥 $K^{\ast }$ 也是正常锥，它可以导出一个广义不等式 ${⪯}_{K^{\ast }}$。

广义不等式及其对偶的性质

$$\begin{array}{r}x{⪯}_{K}y\iff \mathrm{\forall }\lambda {⪰}_{K^{\ast }}0,{\lambda }^{\mathrm{\top }}x⩽{\lambda }^{\mathrm{\top }}y\\ x{\prec }_{K}y\iff \mathrm{\forall }\lambda {⪰}_{K^{\ast }}0\wedge \lambda \ne 0,{\lambda }^{\mathrm{\top }}x<{\lambda }^{\mathrm{\top }}y\end{array}$$

对偶不等式定义的最（极）大（小）元

最小元的对偶性质

$x$ 是 $S$ 上关于广义不等式 ${⪯}_K$ 的最小元的充要条件是，对于 $\mathrm{\forall }\lambda {\succ }_{K^{\ast }}0$，$x$ 是在 $z\in S$ 上极小化 ${\lambda }^{\mathrm{\top }}z$ 的唯一最优解。从几何上看，这意味着对于 $\mathrm{\forall }\lambda {\succ }_{K^{\ast }}0$，超平面 $\{z\mid {\lambda }^{\mathrm{\top }}(z-x)=0\}$ 是在 $x$ 处对 $S$ 的一个严格支撑超平面。如图所示。

极小元的对偶性质

如果 $\lambda {\succ }_{K^{\ast }}0$ 并且 $x$ 在 $z\in S$ 上极小化 ${\lambda }^{\mathrm{\top }}z$，那么 $x$ 是极小的，如图所示。

其逆命题在一般情况下是不成立的。