函数

连续

如果对 $\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }\delta$ 满足

$$\begin{array}{r}y\in \mathrm{dom}f,\parallel y-x{\parallel }_2⩽\delta ⟹\parallel f(y)-f(x){\parallel }_2⩽ϵ\end{array}$$

则称函数 $f:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^m$ 在 $x\in \mathrm{dom}f$ 处连续。

INFO

$\mathrm{dom}f$ 表示函数 $f:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^m$ 的前域。根据离散数学的相关知识，$f$ 是笛卡尔积 ${\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^m$ 的子集，其前域（定义域）是 ${\mathbf{R}}^n$ 的子集。

可以用极限来描述函数的连续性：

$$\begin{array}{r}\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x_i\right)=f\left(\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_i\right)\end{array}$$

函数连续是指它在定义域上每个点都连续。

闭函数

对于函数 $f:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}$，如果对 $\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbf{R}$，集合 $\{x\in \mathrm{dom}f\mid f(x)⩽\alpha \}$ 是闭集，则称函数 $f$ 是闭函数。

对于连续函数 $f:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}$，如果 $\mathrm{dom}f$ 是闭集，那么 $f$ 是闭函数；如果 $\mathrm{dom}f$ 是开集，那么 $f$ 是闭函数的充要条件是 $f$ 将沿着任何收敛于 $\mathrm{dom}f$ 的边界点的序列趋于 $\mathrm{\infty }$。

来看 $\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ 上的一些简单例子：

$$f=x\log x\mathrm{dom}f=(0,+\mathrm{\infty })$$

而

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\log x=0\ne \mathrm{\infty }\end{array}$$

因此不是闭函数。

再比如

$$f=\log x\mathrm{dom}f=(0,+\mathrm{\infty })$$

而

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{+}}{lim}\log x=-\mathrm{\infty }\end{array}$$

且

$$\begin{array}{r}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\log x=+\mathrm{\infty }\end{array}$$

因此是闭函数。