分析

开集和闭集

对于 $x\in C\subseteq {\mathbf{R}}^n$，如果存在 $ϵ>0$ 使得

$$\begin{array}{r}\{y\mid \parallel y-x{\parallel }_2⩽ϵ\}\subseteq C\end{array}$$

即存在一个以 $x$ 为中心的完全包含于 $C$ 的球，则称 $x$ 为 $C$ 的内点。$C$ 的所有内点组成的集合称为 $C$ 的内部，记作 $\mathrm{int}C$。若 $\mathrm{int}C=C$，则称集合 $C$ 为开集。若集合 $C\subseteq {\mathbf{R}}^n$ 的补集 ${\mathbf{R}}^n\mathrm{\setminus }C=\{x\in {\mathbf{R}}^n\mid x\notin C\}$ 是开集，则称集合 $C$ 为闭集。

TikZ 代码

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,scale=0.95]
  % open set (boundary not included) vs closed set (boundary included)
  \fill[blue!9] (-0.6,-1.35) -- (-2.1,-0.45) -- (-1.75,0.75) -- (0.15,1.45) -- (0.4,-0.85) -- cycle;
  \begin{scope}[shift={(4.4,0)}]
    \draw[blue!60!black,thick,fill=blue!9] (0,-1.6) -- (118:2.7) arc[start angle=118,end angle=42,radius=2.7] -- cycle;
  \end{scope}
\end{tikzpicture}

如图所示，在二维平面中，不包含边界的多边形是开集（左图所示），包含边界的扇形是闭集（右图所示）。实际上，开集和闭集的概念可以看作是实数集上开区间和闭区间在 $n$ 维空间中的推广。

闭包

$$\begin{array}{r}\mathbf{\text{cl }}C={\mathbf{R}}^n\mathrm{\setminus }\mathbf{\text{ int}}({\mathbf{R}}^n\mathrm{\setminus }C)\end{array}$$

集合 $C$ 的闭包即为补集内部的补集。在上面的图中，左图不含边界的多边形的闭包是“补上边界”后的多边形，而右边包含边界的扇形的闭包正好是它本身。点 $x$ 属于 $C$ 的闭包的条件是：对于 $\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }y\in C$ 使得 $\parallel x-y{\parallel }_2⩽ϵ$。

边界

$$\begin{array}{r}\mathbf{\text{bd }}C=\mathbf{\text{cl }}C\mathrm{\setminus }\mathbf{\text{int }}C\end{array}$$

显然，边界实际上就是集合的闭包去掉它所有的内点。我们可以用边界来刻画开集和闭集：

• 开集：不含有边界点，即 $C\cap \mathbf{\text{bd }}C=\mathrm{\varnothing }$。
• 闭集：包含边界，即 $\mathbf{\text{bd }}C\subseteq C$。

上确界和下确界

假定 $C\subseteq \mathbf{R}$。如果对 $\mathrm{\forall }x\in C$，$\mathrm{\exists }a\in \mathbf{R}$ 使得 $x⩽a$ 恒成立，则称 $a$ 为 $C$ 的上界。其中，使得 $x⩽a$ 成立的最小的 $a$ 称为最小上界或者上确界，记作 $supC$。

我们规定：

• $sup\mathrm{\varnothing }=-\mathrm{\infty }$
• 当 $C$ 无上界时 $supC=\mathrm{\infty }$

当 $supC\in C$ 时，我们说 $C$ 的上确界是可达的。

类似地，我们可以很容易给出下确界的定义。本文从略。